Archief
Artikelen

Wat is de betekenis van het oneindige? In de wiskunde wordt dit begrip gebruikt in de integraalrekening, maar wat dit precies betekent, blijft onduidelijk. Men kan er mee rekenen en het werkt, maar niemand begrijpt het. Galileo Galilei vroeg zich reeds af hoe het oneindige te definiëren, maar hij gaf het op, want hij stuitte op paradoxen. Sindsdien hebben vier grote wiskundigen zich verdiept in het probleem en ze zijn alle vier ten slotte krankzinnig geworden.

De eerste die probeerde om het begrip te definiëren, was Georg Cantor (1845-1918), die bekend staat als de grondlegger van de verzamelingenleer. Zijn werk leidde tot de paradox dat niet alle oneindige verzamelingen hetzelfde formaat hebben. Men kan het begrip oneindig daarom nooit wiskundig vaststellen. Cantor stierf ten slotte in het gekkenhuis.

De volgende wiskundige die het probleem wilde oplossen, was Ludwig Boltszmann (1844-1906), die zich verdiepte in thermodynamica en entropie. Uit zijn wiskundige theorie bleek dat men sommige fenomenen alleen statistisch kan voorspellen, maar een wiskundige zekerheid is onmogelijk, omdat het aantal mogelijke toestanden oneindig groot is. Maar ook bleek de entropie of wanorde in ieder systeem toe te nemen naarmate de tijd verstrijkt. Zelfs de meest perfecte orde kan daarom nooit blijvend zijn. Boltszmann pleegde ten slotte zelfmoord door zich op te hangen.

De derde grote wiskundige was Kurt Gödel (1906-1978), die bewees dat er binnen ieder stelsel van axioma’s altijd een stelling mogelijk is die niet kan worden bewezen. Men noemt dit de incompletement theorie of onvolledigheidsstelling. Niet alle wiskundige vraagstukken blijken berekenbaar, in ieder stelsel van axioma’s zal altijd een wiskundig probleem opduiken dat onoplosbaar is. Dat wiskunde en logica zouden leiden tot absolute zekerheid, bleek niet waar. Gödel woonde in Wenen, maar nadat Hitler Oostenrijk had geannexeerd, vluchtte hij naar de VS, naar de universiteitsstad Princeton, waar ook Albert Einstein woonde. Deze grote geleerde past niet in het rijtje van wiskundigen die gek werden, want Einstein was een natuurkundige en hij is niet gek geworden, al leidde zijn werk wel tot conclusies die volgens Einstein niet waar konden zijn, maar die toch waar bleken. Gödel raakte bevriend met Einstein, maar ten slotte werd hij krankzinnig, hij weigerde alle voedsel en stierf de hongerdood.

De laatste grote wiskundige in deze reeks is Alan Turing (1912-1954), die beroemd werd omdat hij de Duitse codering van berichten met de Enigma-machine wist te doorbreken. Ook ligt zijn werk ten grondslag aan de uitvinding van de computer. Ook Turing hield zich bezig met het probleem van oneindigheid. Hij bewees dat het onmogelijk is om te onderscheiden tussen oplosbare problemen en onoplosbare problemen. Absolute zekerheid bleek onmogelijk, zelfs de beste computer zou altijd stuiten op een onoplosbaar probleem, maar men kan van te voren nooit weten welk probleem dat zal zijn. Turing was openlijk homoseksueel en volgens de Engelse veiligheidsdienst vormde hij daarom een veiligheidsrisico. Nadat men hem had gedwongen tot een hormonenkuur, werd hij depressief en ten slotte zou hij zelfmoord hebben gepleegd met een vergiftigde appel, al blijft het mogelijk dat hij door de geheime dienst werd vermoord.

De volgende documentaire van BBC 4 gaat over deze vier grote wiskundigen. Men hoeft geen wiskunde te kennen, om de problemen waarmee deze wiskundigen zich geconfronteerd zagen te begrijpen. Sommige stellingen blijken waar, zonder dat men dit ooit kan bewijzen. Zelfs het beste logische systeem blijkt zijn limiet te kennen. De wiskundige zoektocht naar absolute zekerheid leidde tot de ontdekking dat die zekerheid niet bestaat. In ieder systeem van axioma’s zullen paradoxen ontstaan. We zullen er mee moeten leven: sommige problemen gaan zowel ons logische verstand als de beste super-computer te boven. Ons hele bestaan is dus inherent onberekenbaar en sommige problemen zijn rationeel onoplosbaar, zodat we alleen nog kunnen vertrouwen op onze intuïtie.

Dangerous Knowledge duurt anderhalf uur.

Bekijk deze video op Google Video.

Voor wie zich verder wil verdiepen in de betekenis van deze wiskunde voor onze manier van denken, is er het prachtige boek van Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, een eeuwige gouden band. De Nederlandse vertaling door Ronald Jonkers is uitgegeven door Contact, 1985. ISBN: 90 254 6653 2.

Share and Enjoy:
  • NuJIJ
  • Twitter
  • Facebook
  • Hyves
  • RSS
  • email

10 Reacties op “Gevaarlijke Kennis: de Wiskunde van het Oneindige”

  • Guus Hendriks:

    Als je je het oneindige niet kunt voorstellen (hetgeen naar mijn mening zo is) kun je ook geen alomvattende verklaring vinden (zie Gödel). Je kunt je hier toch ook bij neerleggen. Als je dat alles wel zou kunnen verklaren, heb je het eind der tijden bereikt. Het is dus maar goed dat het niet kan!

  • mr. drs. BOU:

    Leuke reactie, Guus. Dank je wel!
    Gelukkig zijn er mensen die kunnen leven met de onzekerheid die volgt uit het werk van deze grote wiskundigen. Maar voor hen zelf was het kennelijk nog onverdraaglijk.
    En helaas geldt dat tot op heden voor het merendeel der mensen. Zij zoeken hun zekerheid in een absolute God, waarbij het niet uitmaakt of dat de Joodse, de Christelijke of de Islamitische god is. Voor Cantor was dat nog de inspiratie: zoeken naar het ware wezen van God… om uit te komen bij een onbenaderbare wezenloosheid. God zou oneindig zijn, maar het oneindige is ondefinieerbaar.
    Hoewel ik niet pretendeer dat ik alle wiskunde kan volgen, heb ik wel genoten van Gödel, Escher, Bach. Het staat nog steeds in mijn boekenkast, misschien moet ik het eens herlezen. Maar het leuke van bovenstaande documentaire vond ik, dat de wiskunde werd geplaatst in een historische context.
    Ik heb ook nog een boek over de geschiedenis van de wiskunde. Het is geschreven voor middelbare scholieren en het heet: De Stelling van de Papegaai. Ik leerde op school wel de Stelling van Pythagoras en zo voort, maar de meeste van deze stellingen bleven Papegaaien. Het wordt pas boeiend als je snapt welke filosofie er aan ten grondslag ligt!
    En dan is er natuurlijk ook een link naar het boeddhisme…

  • Guus Hendriks:

    Dank voor de goedkeuring.
    Inderdaad is Gödel, Escher en Bach een geweldig boek.
    Voor mij is Gödel de belangrijkste wiskundige. Als je zijn stelling begrijpt en het bewijs analyseert (slechts 6 bladzijden A4) is het eigenlijk heel begrijpelijk.
    Maar ja, je moet inderdaad kunnen leven met onzekerheden en dat is voor heel veel mensen erg moeilijk of zelfs onaanvaardbaar. Komt religie daar vandaan?

  • mr. drs. BOU:

    Guus, volgens mij is religie: de Stelling van de Papegaai.
    Alleen het Boeddhisme gaat verder: de Stelling van de Stilte.

  • Maarten:

    Leuke film.

    Maar de fundamentele fout is het denk dat je je gedachten bent.

    Niet wat je denkt, maar waarmee je denkt, dat ben jij!

  • petje:

    Alan W. Watts was een groot kenner van het zen boedhisme. Heeft ook heel interessante passages geschreven over denken vanuit boedhistisch perspectief. Van onderstaand boek was een heel goede Nederlandse vertaling. Ik heb het engelse boekje wel in mijn kast.
    Goedel, Escher en Bach heb ik ook in de kast, maar ik heb het boek slechts heel diagonaal doorgekeken..
    http://www.bol.com/nl/p/boeken-engels/the-wisdom-of-insecurity/1001004000802011/index.html

  • petje:

    De vertaling is:
    Lof der onzekerheid. Meppel, 1977 (Boom)

    Centrale stelling van het boek:
    Het geheim van het leven is geen probleem om op te lossen, maar een werkelijkheid om te ervaren.

  • mr. drs. BOU:

    Dank je wel, Petje. Van Alan Watts heb ik ooit het een en ander gelezen. Ik zal eens kijken of er ook lezingen van hem op video zijn. Want Zen-Boeddhisme is een positieve levensvisie. 😉

    Kijk, er is een heleboel! Daar zal ik ook eens wat aandacht aan besteden. Maar niet vandaag, want helaas is er weer een stofwolk op komst… 😉

  • Haly:

    Al enige tijd volg ik uw website met grote interesse. Zo leer ik elke dag een beetje meer, bedankt.

    Sinds enkele weken komt de datum bij reacties een beetje vreemd door:

    mr. drs. BOU
    1101ij 10:26 (van de reactie hierboven)

    En nu een echte reactie op ‘Gevaarlijke kennis’: zojuist het schitterende beeldverhaal ‘Logicomix’ gelezen, een epische zoektocht naar de waarheid. Een echte aanrader (ISBN 978 90 495 0079 5).

  • mr. drs. BOU:

    Beste Haly, dank je wel voor de tip. Ik had eigenlijk heel andere plannen, maar ik heb er even op gegoogeld.

    Een prachtige boekbespreking staat op het Filosofieblog. Op dat blog heb ik met plezier een beetje verder rondgekeken.

    Logicomix heeft ook een eigen website. Ook daar was het goed toeven.

    Maar de Volkskrant, die de Nederlandse versie publiceerde, heeft ook het eerste hoofdstuk online gezet (pdf). Wat een prachtig verhaal! Dat smaakt naar meer! Dank je wel voor de tip! 🙂

Laat een reactie achter

Recente reacties